​如何用定积分求三角形的面积

如何用定积分求三角形的面积

1.【引言】

在直角坐标系中，通过解析几何的知识和图形的分解，可用S=（1/2）*a*h公式来求三角形的面积，在通过学习导数及微积分之后，还可以通过微积分中的定积分知识来求三角形的面积。本文将全面介绍直角坐标系中，介绍不同形状的三角形求面积的各种方法，侧重点为定积分求面积的方法，各种方法在每道题中是否是最简单的方法要具体分析，本文将详尽两种不同的取微元的方式来求面积，目的是让读者通过总结分析，寻求最简单的一种定积分求面积的方法。

2.【定积分求面积的公式】

一般地，由上下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=a与x=b (a>b)所围成的平面图形，它的面积计算公式为：

S = ∫(b,a)[f2(x)-f1(x)]dx.

3.求不同位置三角形的面积。

3.1.一条边AB在横坐标轴上，顶点C在纵坐标轴的正向情况：

如图1所示：已知A(-3，0)，B(4，0)，C(0,5)

方法一：把三角形ABC分解成两个

直角三角形OCA和OCB，用三角形的面积公式计算面积为：

S=Soca+Socb

=(1/2)*OC*OA+(1/2)*OC*OB

=(1/2)*5*3+(1/2)*5*4

=35/2平方单位。

方法二：利用微积分的知识求面积。

1.第一种方式是面积对x微元，即：ds=△ydx。

此时考虑到，由于AC,BC方程的不同，所以，对x取面积微元有两种情况，即左边的ds1=△y1dx，右边的ds2=△y2dx,三角形面积元素ds=ds1+ds2.

以dx为积分单元

利用直线的截距式方程，分别可以写出AC,BC的直线方程分别为：x/(-3)+y/5=1，x/4+y/5=1.即：

AC：y=5[(x/3)+1];

BC：y=5[(-x/4)+1];

x轴的方程为y=0，对于ds1：△y1=（yAC-0）,所以：

ds1=5[(x/3)+1]dx，x的取值为[-3，0]；同理ds2=5[(-x/4)+1]dx，x的取值为[0，4].

则三角形的面积为：

S△ABC=∫ds=∫ds1+∫ds2

=∫(-3,0) 5*[(x/3)+1]dx+∫(0,4) 5*[(-x/4)+1]dx

=5*[(x^2/6)+x][-3,0]+ 5*[(-x^2/8)+x][0,4]

=0-5*[(3/2)+(-3)]+5*[(-2)+4]-0

=15/2+10

=35/2平方单位.

注：定积分上下限本题用在小括号中，前者为下限，后者为上限,下同。

(2)定积分求面积，第二种方式，对y取面积元素，即ds=△xdy。

以dy为积分单元

前面已经得到AC,BC的方程为：

AC：x/(-3)+y/5=1

BC：x/4+y/5=1，此时变型为：

AC：x=3*[(y/5)-1];

BC：x=4*[1-(y/5)];

所以ds=△xdy= {4*[1-(y/5)]-3*[ (y/5)-1]}dy，y的取值为[0,5]。

则面积为：

S△ABC=∫ds

=∫(0,5){4*[1-(y/5)]-3*[ (y/5)-1]}dy

=∫(0,5)[7-(7y/5)]dy

=[7y-(7y^2/10)][0,5]

=7*5-7*5^2/10-0

=35-35/2

=35/2平方单位.

通过分析以上方法，其中方法一是初等数学方法，方法二是微积分方法。对于本题，在初等数学方法中，方法1比方法2简单，在微积分方法中，对y微元要简单一些。

综上所述，用定积分来求三角形还是其他图形的面积，要先找面积单元，面积单元有两种形式，一种面积单元是ds=△xdy，对于△x，一般是右边的函数减去左边的函数，dy是要找到积分的上下限，且上限大于下限；另一种面积单元是ds=△ydx，对于△y，一般是上面的函数减去下面的函数，dx是要找到积分的上下限，也是上限大于下限。